Question

已知函數(shù)．

（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)．若至少存在一個(gè)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）單調(diào)遞增區(qū)間為和，

單調(diào)遞減區(qū)間為（Ⅲ）

【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，．………1分

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，，．

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，

即．………………………3分

（Ⅱ）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>．

（1）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，

則在上恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞減． ……………4分

（2）當(dāng)時(shí)，，

（ⅰ）若，

由，即，得或； ………………5分

由，即，得．………………………6分

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，

單調(diào)遞減區(qū)間為． ……………………………………7分

（ⅱ）若，在上恒成立，則在上恒成立，此時(shí) 在上單調(diào)遞增． ………………………………………………………………8分

（Ⅲ））因?yàn)榇嬖谝粋�(gè)使得，

則，等價(jià)于.…………………………………………………9分

令，等價(jià)于“當(dāng) 時(shí)，”.

對(duì)求導(dǎo)，得.……………………………………………10分

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增. ……………12分

所以，因此. …………………………………………13分

另【解析】
設(shè)，定義域?yàn)?/span>，

.

依題意，至少存在一個(gè)，使得成立，

等價(jià)于當(dāng) 時(shí)，. ………………………………………9分

（1）當(dāng)時(shí)，

在恒成立，所以在單調(diào)遞減，只要，

則不滿足題意.…… 10分

（2）當(dāng)時(shí)，令得.

（ⅰ）當(dāng)，即時(shí)，

在上，所以在上單調(diào)遞增，

所以，由得，，所以.………11分

（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，

在上，所以在單調(diào)遞減，

所以，由得.………………12分

（ⅲ）當(dāng)，即時(shí)， 在上，在上，

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

，等價(jià)于或，解得，所以，.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.………………………………………13分