Question

（2013•奉賢區二模）動圓C過定點F(

p

2

，0)，且與直線x=-

p

2

相切，其中p＞0．設圓心C的軌跡Γ的程為F（x，y）=0
（1）求F（x，y）=0；
（2）曲線Γ上的一定點P（x₀，y₀）（y₀≠0），方向向量

d

=(y0，-p)的直線l（不過P點）與曲線Γ交與A、B兩點，設直線PA、PB斜率分別為k_PA，k_PB，計算k_PA+k_PB；
（3）曲線Γ上的兩個定點P₀（x₀，y₀）、Q0(x0′，y0′)，分別過點P₀，Q₀作傾斜角互補的兩條直線P₀M，Q₀N分別與曲線Γ交于M，N兩點，求證直線MN的斜率為定值．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線的定義即可得出軌跡方程；
（2）由直線l的方向向量可設直線l的方程為y=-

p

y0

x+b，與拋物線的方程聯立消去x得到關于y的一元二次方程，得到根與系數的關系，利用斜率計算公式和點P在拋物線上滿足的條件，即可得出k_PA+k_PB；
（3）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），可得到k_MN．設MP₀的直線方程為y-y₀=k（x-x₀）與拋物線聯立，得到根與系數的關系，同理由直線Q₀N的方程與拋物線的方程聯立也得到根與系數的關系，代入k_MN即可證明．

解答：解：（1）過點C作直線x=-

p

2

的垂線，垂足為N，
由題意知：|CF|=|CN|，即動點C到定點F與定直線x=-

p

2

的距離相等，
由拋物線的定義知，點C的軌跡為拋物線，
其中F(

p

2

，0)為焦點，x=-

p

2

為準線，
所以軌跡方程為y²=2px（p＞0）；       
（2）設 A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
不過點P的直線l方程為y=-

p

y0

x+b，
由

y2=2px y=- p y0 x+b

得y²+2y₀y-2y₀b=0，
則y₁+y₂=-2y₀，
kAP+kBP=

y1-y0

x1-x0

+

y2-y0

x2-x0

=

y1-y0

y 2 1 2p - y 2 0 2p

+

y2-y0

y 2 2 2p - y 2 0 2p

=

2p

y1+y0

+

2p

y2+y0

=

2p(y1+y2+2y0)

(y1+y0)(y2+y0)

=0．
（3）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則kMN=

y2-y1

x2-x1

=

y2-y1

y 2 2 2p - y 2 1 2p

=

2p

y1+y2

（***）                    
設MP₀的直線方程為為y-y₀=k（x-x₀）與曲線y²=2px的交點P₀（x₀，y₀），M（x₁，y₁）．
由

y2=2px y-y0=k(x-x0)

，y2-

2p

k

y+

2py0

k

-2px0=0的兩根為y₀，y₁
則y0+y1=

2p

k

，∴y1=

2p

k

-y0
同理y0′+y2=

2p

-k

，得y2=-

2p

k

-y0′
∴y1+y2=-(y0+y0′)，
代入（***）計算得kMN=-

2p

y0+y0′

．是定值，命題得證

點評：熟練掌握拋物線的定義、直線l的方向向量、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立消去x得到關于y的一元二次方程及得到根與系數的關系、斜率計算公式和點P在拋物線上滿足的條件等是解題的關鍵．