Question

如圖，已知點D（0，-2），過點D作拋物線C₁：x²=2py （p ∈[1 ，4] ）的切線l ，切點A在第二象限。
（1）求切點A的縱坐標；
（2）若離心率為的橢圓恰好經過A點，設切線l交橢圓的另一點為B，若設切線l，直線OA，OB的斜率為k，k₁，k₂，
①試用斜率k表示k₁+k₂；
②當k₁+k₂取得最大值時求此時橢圓的方程。

Answer 1

解：（1 ）設切點A，
依題意則有解得，
即A點的縱坐標為2；
（2）①依題意可設橢圓的方程為，
直線AB方程為：；
由得，（*）
由（1）可得A，
將A代入（*）可得，
故橢圓的方程可簡化為；
聯立直線AB與橢圓的方程：，
消去y得：，
則
，
又∵，
∴k∈［-2，-1］；
即；
②由可知上為單調遞增函數，
故當k=-1時，取到最大值，此時p＝4，
故橢圓的方程為。