Question

設函數，其中a≠0．
（ I ）若函數y=g（x）圖象恒過定點P，且點P關于直線的對稱點在y=f（x）的圖象上，求m的值；
（Ⅱ）當a=8時，設F（x）=f′（x）+g（x+1），討論F（x）的單調性；
（Ⅲ）在（I）的條件下，設，曲線y=G（x）上是否存在兩點P、Q，使△OPQ（O為原點）是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊的中點在y軸上？如果存在，求a的取值范圍；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）先得出點P關于直線的對稱點（1，0），由題意可得f（1）=0，求出m的值；
（II）先求函數定義域，然后對函數求導，再對字母m分類討論：當m≥0時，當m＜0時．分別解f′（x）＞0，f′（x）＜0，求解即可．
（III）對于存在性問題，可先假設存在，即假設曲線y=G（x）上存在兩點P、Q，滿足題意，則P、Q只能在y軸的同側，再利用△OPQ是以O為直角頂點的直角三角形，求出a的取值范圍，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（I）令ln（x-1）=0，得x=2，∴點P關于直線的對稱點（1，0），
∴f（1）=0，m+4+m=0，m=-3．
（II）F（x）=f′（x）+g（x+1）mx²+2（4+m）x+8lnx，（x＞0）．
∴F′（x）=2mx+（8+2m）x+==，
∵x＞0，∴x+1＞0，
∴當m≥0時，8+2mx＞0，F′（x）＞0，此時，F（x）在（0，+∞）上是減函數，
當m＜0時，由F′（x）＞0得0＜x＜-，由F′（x）＜0得x＞-，
此時，F（x）在（0，-）上是增函數，在（-，+∞）上是減函數，
綜上所述，m≥0時，8+2mx＞0，F′（x）＞0，此時，F（x）在（0，+∞）上是減函數，當m＜0時，由F′（x）＞0得0＜x＜-，由F′（x）＜0得x＞-，此時，F（x）在（0，-）上是增函數，在（-，+∞）上是減函數，
（III）由條件（I）知，，
假設曲線y=G（x）上存在兩點P、Q，滿足題意，則P、Q只能在y軸的同側，
設P（t，G（t））（t＞0），則Q（-t，t³+t²），
∵△OPQ（O為原點）是以O為直角頂點的直角三角形，
∴=0，即-t²+G（t）（t³+t²）=0，①
（1）當0＜t≤2時，G（t）=-t³+t²，此時方程①為-t²+（-t³+t²）（t³+t²）=0，
化簡得t⁴-t²+1=0，無解．滿足條件的P、Q不存在；
（2）當t＞2時，G（t）=aln（t-1），此時方程①為-t²+aln（t-1）（t³+t²）=0，
化簡得=（t+1）ln（t-1），設h（x）=（t+1）ln（t-1），則h′（x）=ln（t-1）+，
當t＞2時，h′（x）＞0，h（x）在（2，+∞）上是增函數，h（x）的值域為（h（2），+∞），即（0，+∞）．
∴當a＞0時，方程①總有解．
綜上所述，存在滿足條件的P、Q，a的取值范圍（0，+∞）．
點評：本題考查利用導數研究函數的極值及單調性，解題時若含有參數，要對參數的取值進行討論，而分類討論的思想也是高考的一個重要思想，要注意體會其在解題中的運用．