Question

設函數，其中a≠0．
（ I ）若函數y=g（x）圖象恒過定點P，且點P在y=f（x）的圖象上，求m的值；
（Ⅱ）當a=8時，設F（x）=f′（x）+g（x），討論F（x）的單調性；
（Ⅲ）在（I）的條件下，設，曲線y=G（x）上是否存在兩點P、Q，使△OPQ（O為原點）是以O為直角頂點的直角三角形，且該三角形斜邊的中點在y軸上？如果存在，求a的取值范圍；如果不存在，說明理由．

Answer 1

解：（I）令lnx=0，則x=1，即函數y=g（x）的圖象過定點P（1，0），
又點P在y=f（x）的圖象上，所以f（1）=m+（4+m）=0，
解得m=-3．
（II）F（x）=mx²+2（4+m）x+8lnx，定義域為（0，+∞），
F′（x）=2mx+（8+2m）+==．
∵x＞0，則x+1＞0，
∴當m≥0時，2mx+8＞0，F′（x）＞0，此時F（x）在（0，+∞）上單調遞增，
當m＜0時，由F′（x）＞0得0＜x＜-，F′（x）＜0，得x＞-，
此時F（x）在（0，-）上為增函數，在（，+∞）上為減函數，
綜上，當m≥0時，F（x）在（0，+∞）上為增函數，
m＜0時，在（0，-）上為增函數，在（，+∞）上為減函數．
（III）由條件（I）知G（x）=，
假設曲線y=G（x）上存在兩點P、Q滿足題意，則P、Q兩點只能在y軸兩側，
設P（t，G（t））（t＞0），則Q（-t，t³+t²），
∵∠POQ是以O為直角頂點的直角三角形，
∴，∴-t²+G（t）（t³+t²）=0①．
（1）當0＜t≤1時，G（t）=-t³+t²，
此時方程①為-t²+（-t³+t²）（t³+t²）=0，化簡得t⁴-t²+1=0，
此方程無解，滿足條件的P、Q兩點不存在．
（2）當t＞1時，G（t）=alnt，
方程①為：-t²+alnt•（t³+t²）=0，即=（t+1）lnt，
設h（t）=（t+1）lnt（t＞1），則h′（t）=lnt++1，
當t＞1時，h′（t）＞0，即h（t）在（1，+∞）上為增函數，
∴h（t）的值域為（h（1），+∞）），即（0，+∞），
∴＞0，∴a＞0．
綜上所述，如果存在滿足條件的P、Q，則a的取值范圍是a＞0．
分析：（ I ）點P與a的取值無關，令lnx=0即可求點P，代入y=f（x），可得m值；
（Ⅱ）m=8時，求出F（x），F′（x），在定義域內按m≥0，m＜0兩種情況討論解不等式F′（x）＞0，F′（x）＜0即可；
（Ⅲ）由（I）知G（x）=，先假設曲線y=G（x）上存在滿足題意的兩點P、Q，易知P、Q兩點在y軸兩側，由此可設P（t，G（t））（t＞0）、Q（-t，t³+t²），由題意知∠POQ為直角，從而有，即-t²+G（t）（t³+t²）=0①．分（1）0＜t≤1時，（2）t＞1時兩種情況進行討論，此時可知G（t）表達式，（1）種情況易判斷，（2）種情況分離出參數a后構造函數，轉化為求函數值域可以解決；
點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，考查對數函數的特殊點，考查學生對存在性問題的探究解決能力，解決（Ⅲ）問的關鍵通過分析條件合理設點P、Q的坐標．