Question

設(shè)函數(shù)
(Ⅰ)若，是否存在k和m，使得 ，，若存在，求出k和m的值，若不存在，說(shuō)明理由
(Ⅱ)設(shè) 有兩個(gè)零點(diǎn) ，且 成等差數(shù)列， 是 G (x)的導(dǎo)函數(shù)，求證：

Answer 1

(Ⅰ) 存在k=2，m=-1；(Ⅱ)見(jiàn)解析

解析試題分析：(Ⅰ)先求，然后根據(jù)條件很容易求出a，b，此時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)和圖象有一個(gè)公共點(diǎn)（1，1），根據(jù)問(wèn)題：是否存在k和m，使得，，也就是找到一條直線要同時(shí)滿足這兩個(gè)不等式．根據(jù)存在的公共點(diǎn)可以想到是否是過(guò)這一點(diǎn)的直線，故先求出還在（1，1）的切線，然后去驗(yàn)證它是否同時(shí)滿足，即可．(Ⅱ)先求出，根據(jù)條件x₁，x₂是它的兩個(gè)零點(diǎn)，所以x₁²?alnx₁?bx₁+2＝0且x₂²?alnx₂?bx₂+2＝0．根據(jù)所要證的結(jié)論：，所以需要求，利用x₁+x₂=2x₀，將用x₁，x₂表示出來(lái)，然后判斷它是否大于0即可．
試題解析：(Ⅰ)=，=，由得：a+b＝2， b＝1，解得，解得a=b=1．∴=．
因與有一個(gè)公共點(diǎn)（1，1），易求得函數(shù)=在點(diǎn)（1，1）的切線方程為．
下面驗(yàn)證，都成立即可．
設(shè)h（x）=lnx+x-(2x-1)=lnx-x+1，所以=＝．
x∈（0，1）時(shí)，＞0；x∈（1，+∞）時(shí)，＜0，∴x=1時(shí)，取最大值=0；
∴l(xiāng)nx+x≤2x-1恒成立，即≤2．
由于，得，∴≥恒成立．
故存在這樣的k，m，且k=2，m=-1．                             6分
(Ⅱ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/13/1/hveen2.png" style="vertical-align:middle;" />==，有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，
則x₁²?alnx₁?bx₁+2＝0且x₂²?alnx₂?bx₂+2＝0，
兩式相減得，x₁²? x₂²-a(lnx₁? lnx₂)-b(x₁?x₂)＝0，
所以=，又因?yàn)閤₁+x₂=2x₀，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/af/e2/afde29683788bb53bd3de304e5fa816f.png" style="vertical-align:middle;" />=，所以=