Question

（ 14分）已知函數，，其中為無理數．（1）若，求證：；（2）若在其定義域內是單調函數，求的取值范圍；（3）對于區間（1，2）中的任意常數，是否存在使成立？
若存在，求出符合條件的一個；否則，說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)略   (Ⅱ)   （Ⅲ）不存在

：（Ⅰ）證明：當時，．令，則．
若，遞增；若，遞減，
則是的極（最）大值點．于是
，即．故當時，有．
（Ⅱ）解：對求導，得．
①若，，則在上單調遞減，故合題意．
②若，．
則必須，故當時，在上單調遞增．
③若，的對稱軸，則必須，
故當時，在上單調遞減．
綜合上述，的取值范圍是．
（Ⅲ）解：令．則問題等價于
找一個使成立，故只需滿足函數的最小值即可．
因，
而，
故當時，，遞減；當時，，遞增．
于是，．與上述要求相矛盾，故不存在符合條件的．