Question

已知函數在與時，都取得極值。
（1）求的值；
（2）若，求的單調區間和極值；
（3）若對都有恒成立，求的取值范圍。

Answer 1

解：（1）f ′(x)＝3x²＋2a x＋b＝0．
由題設，x＝1，x＝－為f ′(x)＝0的解．
－a＝1－，＝1×(－)．∴a＝－，b＝－2……………………………………4分
經檢驗得：這時與都是極值點．…………………………………5分
（2）f (x)＝x³－x²－2 x＋c，由f (－1)＝－1－＋2＋c＝，c＝1．
∴f (x)＝x³－x²－2 x＋1．

∴  f (x)的遞增區間為（－∞，－），及（1，＋∞），遞減區間為（－，1）．
當x＝－時，f (x)有極大值，f (－)＝；
當x＝1時，f (x)有極小值，f (1)＝－……………………………………………10分
（3）由（1）得，f ′(x)＝(x－1)(3x＋2)，f (x)＝x³－x²－2 x＋c，
f (x)在[－1，－及（1，2]上遞增，在（－，1）遞減．
而f (－)＝－－＋＋c＝c＋．f (2)＝8－2－4＋c＝c＋2．
∴  f (x)在[－1，2]上的最大值為c＋2．∴ ，∴ 
∴  或∴ 或…………………16分

解析