Question

已知：有窮數(shù)列{a_n}共有2k項（整數(shù)k≥2 ），a₁=2，設該數(shù)列的前n項和為S_n且滿足S_n+1=aS_n+2（n=1，2，…，2k-1），a＞1．
（1）求{a_n}的通項公式．
（2）設b_n=log₂a_n，求{b_n}的前n項和T_n．
（3）設c_n=

Tn

n

，若a=2，求滿足不等式|c1-

3

2

|+|c2-

3

2

|+…+|c2k-1-

3

2

|+|c2k-

3

2

|≥

36

11

時k的最小值．

Answer 1

分析：（1）由S_n+1=aS_n+2（n=1，2，2k-1），知S_n=aS_n-1+2（n=2，3，k），由此得a_n+1=a•a_n，從而能求出{a_n}的通項公式．
（2）由b_n-b_n-1=log₂a_n-log₂a_n-1=log₂a_n-1log₂

an

an-1

=log₂a（n=2，3，2k），知{b_n}是以b₁=1為首項，以log₂a（a＞1）為公差的等差數(shù)列，由此能求出T_n．
（3）c_n=

Tn

n

=1+

(n-1)logx2kx-1

2

=1+

n-1

2k-1

（n=1，2，2k），當c_n≤

3

2

時，n≤k+

1

2

，n為正整數(shù)，知n≤k時，c_n＜

3

2

．當n≥k+1時，11k²-72k+3≥0，由此解得滿足條件的k的最小值為6．

解答：解：（1）由S_n+1=aS_n+2（n=1，2，2k-1）（1）
S_n=aS_n-1+2（n=2，3，k）（2）
（1）-（2）得a_n+1=a•a_n（n=2，3，2k-1）
由（1）式S₂=aS₁+2，a₁+a₂=aS₁+2
解得a₂=2a，因為

a2

a1

=a
所以{a_n}是以2為首項，a為公比的等比數(shù)列，a_n=2•a^n-1（n=1，2，2k）
（2）∵b_n-b_n-1=log₂a_n-log₂a_n-1=log₂a_n-1log₂

an

an-1

=log₂a（n=2，3，2k）
∴{b_n}是以b₁=1為首項，以log₂a（a＞1）為公差的等差數(shù)列
∴T_n=

(1+logx2•an-1)n

2

=

(2+(n-1)logxa)n

2

=n+

n(n-1)logxa

2

（a＞1，n=1，2，2k）
（3）c_n=

Tn

n

=1+

(n-1)logx2kx-1

2

=1+

n-1

2k-1

（n=1，2，2k）
當c_n≤

3

2

時，n≤k+

1

2

，n為正整數(shù)，知n≤k時，c_n＜

3

2

當n≥k+1時，c_n＞

3

2

|c1-

3

2

|+|c2-

3

2

|+…|c2k-1-

3

2

|+|c2k-

3

2

|
=（

3

2

-c₁）+（

3

2

-c₂）++（

3

2

-c_k）+（c_k+1-

3

2

）++（c_2k-

3

2

）
=（c_k+1+c_k+2++c_2k）-（c₁+c₂++c_k）
=

1

2k-1

{[k+（k+1）++（2k-1）]+2k}-

1

2k-1

{[1+2++（k-1）]+k}
=

1

2k-1

[

k(3k-1)

2

-

k(k-1)

2

]
=

k-1

2k-1

≥

36

11

即11k²-72k+3≥0，（11k-6）（k-6）≥0解得k≥6或k≤

36

11

所以滿足條件的k的最小值為6．

點評：本題考查數(shù)列的性質和應用，解題時要注意公式的合理運用．