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如圖,在平面直角坐標系中,已知橢圓經過點,橢圓的離心率.

（1）求橢圓的方程；
（2）過點作兩直線與橢圓分別交于相異兩點、.若的平分線與軸平行, 試探究直線的斜率是否為定值？若是, 請給予證明；若不是, 請說明理由.

（1）；（2）定值.

解析試題分析：（1）待定系數法求橢圓方程.找到兩個關于的方程即可.（2）因為的平分線與軸平行，所以直線MA,MB的斜率互為相反數.假設直線MA聯立橢圓方程即可得到A點的坐標，因為M點坐標已知.再把k換成-k即可求出B點的坐標.從而求出AB的斜率即可.本題第一小題屬于常規題型.第二小題要把握以下三方面：首先是MA,MB的斜率是成相反數，假設了一個另一個也知道.其次A,B的坐標也是只要知道一個另一個只要把k換成-k即可.再次求A,B坐標時M點已經知道，用韋達定理很好求出.
試題解析：（1）由，得，故橢圓方程為，
又橢圓過點,則，解之得，
因此橢圓方程為
(2)設直線的斜率為，，由題，直線MA與MB的斜率互為相反數，直線MB的斜率為，聯立直線MA與橢圓方程： ，
整理得，由韋達定理，，
，整理可得，
又
所以為定值.
考點：1.待定系數求橢圓方程.2.直線與圓的位置關系.3.韋達定理.4.較復雜的運算.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知雙曲線方程2x2－y2＝2.
(1)求以A(2,1)為中點的雙曲線的弦所在的直線方程；
(2)過點(1,1)能否作直線l，使l與雙曲線交于Q1，Q2兩點，且Q1，Q2兩點的中點為(1,1)？如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知的頂點在橢圓上，在直線上，且．
（1）當邊通過坐標原點時，求的長及的面積；
（2）當，且斜邊的長最大時，求所在直線的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在直角坐標系中，為坐標原點，如果一個橢圓經過點P(3,),且以點F(2,0)為它的一個焦點.
（1）求此橢圓的標準方程；
（2）在（1）中求過點F(2,0)的弦AB的中點M的軌跡方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，斜率為的直線過拋物線的焦點，與拋物線交于兩點A、B， M為拋物線弧AB上的動點．

(Ⅰ)若，求拋物線的方程；
(Ⅱ)求△ABM面積的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的左、右焦點和短軸的兩個端點構成邊長為2的正方形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點的直線與橢圓相交于，兩點．點，記直線的斜率分別為，當最大時，求直線的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知定點F(2,0)和定直線，動圓P過定點F與定直線相切，記動圓圓心P的軌跡為曲線C
（1）求曲線C的方程.
（2）若以M(2,3)為圓心的圓與拋物線交于A、B不同兩點，且線段AB是此圓的直徑時，求直線AB的方程

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓拋物線的焦點均在軸上，的中心和 的頂點均為坐標原點從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于下表中：











（Ⅰ）求分別適合的方程的點的坐標；
（Ⅱ）求的標準方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知分別是橢圓的左、右焦點，橢圓的離心率．
（I）求橢圓的方程；（II）已知直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點．求證：以線段為直徑的圓恒過定點．

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