Question

（Ⅰ）已知函數,若存在，使得,則稱是函數的一個不動點，設二次函數.
(Ⅰ) 當時，求函數的不動點；
(Ⅱ) 若對于任意實數，函數恒有兩個不同的不動點，求實數的取值范圍；
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的條件下，若函數的圖象上兩點的橫坐標是函數的不動點，且直線是線段的垂直平分線，求實數的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ)函數的不動點為 。
（Ⅱ） 
（Ⅲ）實數的取值范圍.

解析試題分析：
思路分析：(Ⅰ) 解方程確定函數的不動點為 。
（Ⅱ）由題意，得到方程恒有兩個不相等的實數根，
根據判別式，解得 。
（Ⅲ）設函數的兩個不同的不動點為得到,，
且是的兩個不等實根， 得到
直至中點坐標為。根據
，且在直線上得到a,b的關系。
解：(Ⅰ) 當時，，
解，得。
所以函數的不動點為 。
（Ⅱ）因為 對于任意實數，函數恒有兩個不同的不動點，
所以，對于任意實數，方程恒有兩個不相等的實數根，
即方程恒有兩個不相等的實數根，
所以 ，
即 對于任意實數，，
所以  ，解得  
（Ⅲ）設函數的兩個不同的不動點為，則,
且是的兩個不等實根， 所以
直線的斜率為1，線段中點坐標為
因為 直線是線段的垂直平分線，
所以 ，且在直線上
則       
所以  當且僅當時等號成立
又      所以 實數的取值范圍.
考點：新定義問題，均值定理的應用，一元二次方程根的研究。
點評：難題，本題給出“不動點”的概念，解題過程中，應注意理解并應用這一概念。將問題轉化成一元二次方程問題，結合直線方程，應用均值定理，達到解題目的。