已知橢圓
，拋物線
的焦點均在
軸上，的中心和的頂點均為原點
，每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于表中：
|  |  |  |  |
 |  |  |  |  |
，的標準方程；
與有且只有一個公共點
，且與的準線交于
，試探究：在坐標平面內是否存在定點
，使得以
為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由. （1） 
，
；（2）存在定點
.
解析試題分析：（1）設出標準方程，由點的坐標代入求出基本量即得；（2）巧設直線的方程為
，由直線與橢圓相切，求得
，利用直線與的準線相交求點的坐標，寫出以為直徑的圓的方程，利用恒成立求解.
試題解析：（1）設，的標準方程為：
，
，∵
和
代入拋物線方程中得到的解相同，∴
， （3分）
又
和
在橢圓上，把點的坐標代入橢圓方程得
，
，則，
的標準方程分別為，. （6分）
（2）設直線的方程為，將其代入消去并化簡整理得：
，又直線與橢圓相切，
∴
，∴， （8分）
設切點
，則
，
，
又直線與的準線
的交點
，
∴以為直徑的圓的方程為
， （10分）
化簡整理得
恒成立，
故
，
，即存在定點符合題意. （13分）
考點： 橢圓、拋物線的性質，圓的性質，直線與圓橢圓的關系，定點問題.
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已知橢圓C: 
(a>b>0)的兩個焦點和短軸的兩個端點都在圓
上.
(I)求橢圓C的方程；
(II)若斜率為k的直線過點M(2,0),且與橢圓C相交于A, B兩點.試探討k為何值時,三角形OAB為直角三角形.
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橢圓
的左、右焦點分別為F1(-1，0)，F2(1,0)，過F1作與x軸不重合的直線l交橢圓于A,B兩點.
（Ⅰ）若ΔABF2為正三角形，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若橢圓的離心率滿足
,0為坐標原點，求證
為鈍角.
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如圖，在平面直角坐標系
中，橢圓
的右焦點為
，離心率為
．
分別過
，
的兩條弦
，
相交于點
（異于
，
兩點），且
．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：直線
，
的斜率之和為定值．
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已知橢圓C:
的四個頂點恰好是一邊長為2，一內角為
的菱形的四個頂點.
(I)求橢圓C的方程；
(II)若直線y =kx交橢圓C于A，B兩點，在直線l:x+y-3=0上存在點P,使得 ΔPAB為等邊三角形,求k的值.
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在平面直角坐標系
中，已知橢圓
的左焦點為
，左、右頂點分別為
，上頂點為
，過
三點作圓
（Ⅰ）若線段
是圓的直徑，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若圓的圓心在直線
上，求橢圓的方程;
（Ⅲ）若直線
交（Ⅱ）中橢圓于
，交
軸于
，求
的最大值
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已知焦點在
軸上的橢圓
和雙曲線
的離心率互為倒數，它們在第一象限交點的坐標為
，設直線
（其中
為整數）.
（1）試求橢圓
和雙曲線
的標準方程；
（2）若直線
與橢圓交于不同兩點
，與雙曲線交于不同兩點
，問是否存在直線，使得向量
，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由.
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已知
的頂點A在射線
上，
、
兩點關于x軸對稱，0為坐標原點，且線段AB上有一點M滿足
當點A在
上移動時，記點M的軌跡為W.
（Ⅰ）求軌跡W的方程；
（Ⅱ）設
是否存在過
的直線
與W相交于P,Q兩點，使得
若存在，
求出直線；若不存在，說明理由.
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中，已知
，
，
，
，其中
．設直線
與
的交點為
，求動點
為參數）及普通方程．