Question

函數的定義域為，若存在常數，使得對一切實數均成立，則稱為“圓錐托底型”函數．
（1）判斷函數，是否為“圓錐托底型”函數？并說明理由．
（2）若是“圓錐托底型” 函數，求出的最大值．
（3）問實數、滿足什么條件，是“圓錐托底型” 函數．

Answer 1

（1）是，不是，（2），（3）

試題分析：（1）新定義問題，必須讀懂題意，嚴格按定義進行等價轉化.本題判斷函數是否為“圓錐托底型”函數，即判斷是否存在常數，使得對一切實數均成立，若成立必須證明，否則給出反例.本題解題關鍵在于常數的確定. ，所以可確定常數而由可知無論常數為什么正數，總能取較小的數比它小，即總能舉個反例，如當時，就不成立.（2）本題實質按新定義轉化為不等式恒成立問題：存在，使得對于任意實數恒成立．即當時，，而取得最小值2，．（3）本題是討論滿足不等式恒成立的條件.即實數、滿足什么條件，存在常數，使得對一切實數均成立.當時，，、無限制條件；當時，，需，否則若，則當時，，即不能恒成立；若，則.
試題解析：（1）．，即對于一切實數使得成立，“圓錐托底型” 函數．          2分
對于，如果存在滿足，而當時，由，，得，矛盾，不是“圓錐托底型” 函數．     5分
（2）是“圓錐托底型” 函數，故存在，使得對于任意實數恒成立．
當時，，此時當時，取得最小值2，     9分
而當時，也成立．
的最大值等于．        10分
（3）①當，時，，無論取何正數，取，則有，
不是“圓錐托底型” 函數．      12分
②當，時，，對于任意有，此時可取是“圓錐托底型” 函數．      14分
③當，時，，無論取何正數，取．有，不是“圓錐托底型” 函數．      16分
④當，時，，無論取何正數，取，有，不是“圓錐托底型” 函數．
由上可得，僅當時，是“圓錐托底型” 函數．    18分