Question

如圖，已知圓錐的底面半徑為r=10，點Q為半圓弧

AB

的中點，點P為母線SA的中點．若PQ與SO所成角為

π

4

，求此圓錐的全面積與體積．

Answer 1

分析：由題意和幾何體的特征，取OA的中點H，連接PH，QH，利用線面垂直和勾股定理求出母線長和圓錐的高．再代入全面積公式和體積公式求值．

解答：解：取OA的中點H，連接PH，QH，

則PH∥SO，且PH=

1

2

SO，∴PH⊥平面AQB，
∵PQ與SO所成角為

π

4

，∴∠QPH=

π

4

，
在直角三角形△QOH中，∵點Q為半圓弧

AB

的中點，r=10，
∴QH=5

5

，
在直角三角形△PHQ中，

QH

PH

=tan

π

4

=1，則PH=5

5

，即SO=10

5

，
在直角三角形△SOA中，SA=

SO2+OA2

=10

6

，
∴圓錐的全面積S=πr²+πr•SA=100π+100

6

π=100π（1+

6

），
圓錐的體積V=

1

3

πr²•SO=

1

3

π×100×10

5

=

1000 5

3

π，

點評：本題考查了求圓錐的全面積和體積，主要根據幾何體的結構特征、直角三角形、題中的條件，求出錐體的母線長和高，進而求出對應的值，考查了分析和解決問題的能力．