Question

如圖，已知圓錐的底面直徑和母線長均為4，過OA上一點P作平面α，當OB∥α時平面a截圓錐所得的截口曲線為拋物線，設拋物線的焦點為F，若OP=1，則|PF|長為（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  1

  2

• C．1
• D．2

Answer 1

分析：設拋物線與圓錐底面交點為C、D，連結CD交AB于點E，連結PE，則PE∥OB且拋物線焦點F在PE上，連結BC、AC．利用平行線的性質證出△PAE是邊長為3的正三角形，在底面圓Rt△ABC中利用射影定理算出CE=

3

，然后以P為原點，PF所在直線為x軸建立直角坐標系，設出拋物線的方程并利用點C的坐標算出p=

1

2

，即可得到|PF|長為

1

4

．

解答：解：如圖1所示
設拋物線與圓錐底面交點為C、D，連結CD交AB于點E，
連結PE，則PE∥OB且點F在PE上，連結BC、AC
∵正△OAB中，PE∥OB
∴△PAE是正三角形，邊長AE=AP=4-1=3
∵AB是底面圓的直徑，CE⊥AB于E
∴CE²=BE•AE=3，可得CE=

3

       圖1                    圖2
在平面α內，以P為原點，PF所在直線為x軸建立如圖2所示直角坐標系
設拋物線的方程為y²=2px（p＞0）
由C點坐標（3，

3

），得（

3

）²=2p•3，所以p=

1

2

因此，|PF|長為

p

2

=

1

4

，
故答案為：

1

4

點評：本題給出平面α截圓錐得拋物線，在已知圓錐頂點到拋物線頂點的距離情況下，求拋物線頂點到其焦點的距離．著重考查了圓錐的性質、拋物線的定義及簡單幾何性質、相似三角形和射影定理等知識，屬于中檔題．