如圖，橢圓
與橢圓
中心在原點，焦點均在
軸上，且離心率相同．橢圓的長軸長為
，且橢圓的左準線
被橢圓截得的線段
長為
，已知點
是橢圓上的一個動點．
⑴求橢圓與橢圓的方程；
⑵設點
為橢圓的左頂點，點
為橢圓的下頂點，若直線
剛好平分
，求點的坐標；
⑶若點
在橢圓上，點
滿足
，則直線
與直線
的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．
（1）
,（2）
，（3）
.
解析試題分析：（1）求橢圓方程，基本方法是待定系數法.關鍵是找全所需條件. 橢圓中
三個未知數的確定只需兩個獨立條件，根據橢圓的長軸長為得
，又由橢圓的左準線得
，所以
，
，
，就可得到橢圓的標準方程；由橢圓與橢圓離心率相同，得
再由橢圓過點
，代入可得橢圓（2）涉及弦中點問題,一般用“點差法”構造等量關系.本題較簡單,可直接求出中點坐標,再利用直線與橢圓聯立方程組求交點坐標;（3）求定值問題,一是確定定值,這可利用特殊情況給于確定,二是參數選擇,不僅要揭示問題本質,更要易于消元,特別是整體消元.本題研究的是直線與直線的斜率之積,即它們坐標滿足
為定值,參數選為點的坐標,利用點的坐標滿足
進行整體消元.
試題解析：⑴設橢圓方程為
，橢圓方程為
，
則
，∴，又其左準線
，∴，則
∴橢圓方程為，其離心率為
， 3分
∴橢圓中
，由線段的長為，得,代入橢圓
，
得
，∴
，橢圓方程為； 6分
⑵
，則中點為
，∴直線為
， 7分
由
，得
或
，
∴點的坐標為； 10分
⑶設
，
，則
，
，
由題意
，∴
12分
∴
14分
∴
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C1：
＋y2＝1，橢圓C2以C1的長軸為短軸，且與C1有相同的離心率．
(1)求橢圓C2的方程；
(2)設O為坐標原點，點A，B分別在橢圓C1和C2上，
＝2
，求直線AB的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
＝1(a>b>0)的離心率與等軸雙曲線的離心率互為倒數關系，直線l：x－y＋
＝0與以原點為圓心， 以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設M是橢圓的上頂點，過點M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點，設兩直線的斜率分別為k1，k2，且k1＋k2＝4，證明：直線AB過定點
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設橢圓的方程為
，斜率為1的直線不經過原點
，而且與橢圓相交于
兩點，
為線段
的中點.
（1）問：直線
與能否垂直？若能，求
之間滿足的關系式；若不能，說明理由；
（2）已知為
的中點，且
點在橢圓上.若
，求之間滿足的關系式.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線的頂點在坐標原點
，焦點
在
軸上，拋物線上的點
到的距離為2，且的橫坐標為1．直線
與拋物線交于
，
兩點.
（1）求拋物線的方程；
（2）當直線
，
的傾斜角之和為
時，證明直線
過定點.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系中，已知點
，點
在直線
：
上運動，過點與垂直的直線和線段
的垂直平分線相交于點
．
(1)求動點的軌跡
的方程；
(2)過(1)中的軌跡上的定點
作兩條直線分別與軌跡相交于
，
兩點．試探究：當直線
，
的斜率存在且傾斜角互補時，直線
的斜率是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知曲線
的極坐標方程為
，曲線
的極坐標方程為
，曲線、相交于
、
兩點.（
）
（Ⅰ）求、兩點的極坐標；
（Ⅱ）曲線與直線
（
為參數）分別相交于
兩點，求線段
的長度.
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的離心率為
，直線
與圓
相切.
的方程；
與橢圓
，求弦長
.
的橢圓
一個焦點為
.
的方程；
交橢圓
兩點,且
，求直線