Question

已知函數．
（1）當時，求函數在上的最大值；
（2）令，若在區間上不單調，求的取值范圍；
（3）當時，函數的圖象與軸交于兩點，且，又是的導函數．若正常數滿足條件，證明：．

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析．

試題分析：（1）當時，，求其在上的最大值，先要求出其導函數，然后利用導數的符號，判斷函數的單調區間，最后就可求出函數的最大值；（2）函數在區間上不單調，而函數在在區間又是不間斷的，則區間上有根且無重根，問題就轉化為方程有解的問題，分離參數后又轉化為函數的值域問題，這是我們所熟悉的問題；（3）根據有兩個實根，可得關于的兩個等式，從而消去，再將適當放縮后構造函數，通過判斷函數的單調性去求函數的最值從而證明不等式.
試題解析：（1）                                   2分
函數在[,1]是增函數，在[1,2]是減函數，
所以．                                     4分
（2）因為，所以，                  5分
因為在區間上不單調，所以在（0，3）上有實數解，且無重根，
由，有=，（）            6分
又當時，有重根，                              7分
綜上                                                          8分
（3）∵，又有兩個實根，
∴，兩式相減，得，
∴,                                          10分
于是
．                            11分
．
要證：，只需證：
只需證：．(*)                                        12分
令，∴(*)化為 ，只證即可．  13分
，14分
在（0，1）上單調遞增，      15分
，即．∴．  16分