Question

已知函數， ．
(1)求在點處的切線方程；
(2)證明: 曲線與曲線有唯一公共點；
(3)設，比較與的大小, 并說明理由.

Answer 1

(1);(2)祥見解析; （3）.

解析試題分析：(1)由于為切點，利用導數的幾何意義求出x=1處的切線的斜率，利用點斜式求出切線方程，化成一般式即可；(2)要證兩曲線有唯一公共點，只須證兩個函數的差函數有唯一零點，注意到差函數在x=0處的函數值為零，所以只須用導數證明此函數在R上是一單調函數即可；（3）要比較兩個式子的大小，一般用比差法：作差，然后對差式變形，最后確定差式的符號．此題作差后字母較多，注意觀察，可構造函數，用導數對函數的單調性進行研究，從而達到確定符號的目的．
試題解析：(1)，則，點處的切線方程為：,即
(2)令 ，，則，，且，，因此，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增.
所以，所以在上單調遞增，又，即函數有唯一零點，
所以曲線與曲線有唯一公共點.
（3）設

令,則,
所以在上單調遞增,且,因此,從而在上單調遞增,而,所以在上;即當時, ,又因為,所以有;所以當時, .
考點：１．導數的幾何意義；２．導數研究函數的單調性．