Question

已知函數．

（Ⅰ）若是上是增函數，求實數a的取值范圍；

（Ⅱ）證明：當a≥1時，證明不等式≤x+1對x∈R恒成立；

（Ⅲ）對于在(0，1)中的任一個常數a，試探究是否存在x0>0，使得>x0+1成立？如果存在，請求出符合條件的一個x0；如果不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（I）a的取值范圍為a≤0；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）可找到一個常數，使得>x0+1成立．

【解析】

試題分析：（I）時，，求導得．由題意，≥0在上恒成立.因為ex>0恒成立，故只需≥0在上恒成立，結合拋物線的圖象即可得a的取值范圍；（Ⅱ）由題知f(x)≤x+1即為-≤x+1．由于含有，故分和兩種情況討論.①在x≥0時，要證明-≤x+1成立，可變為證1≤成立，這樣只需利用導數求的最小值即可，求導得，易得≥0，從而g(x)≥g(0)=1.注：直接證也可，只是需要求兩次導數．

②在x≤0時，要證-≤x+1成立，可變為證1≤成立，這樣只需利用導數求的最小值即可.

（Ⅲ）要使f(x0)>x0+1成立，即.如果變為，那么求導后式子很復雜，故嘗試作其它的變形.

變形為，要找一個x0>0使該不等式成立，只需找到函數的最小值，滿足即可．這利用導數就容易解決了.

試題解析：（I）∵時，，

∴．

由題意，≥0在上恒成立，

當a=0時，>0恒成立，即滿足條件．

當a≠0時，要使≥0，而ex>0恒成立，

故只需≥0在上恒成立，即

解得a<0．

綜上，a的取值范圍為a≤0． 4分

（Ⅱ）由題知f(x)≤x+1即為-≤x+1．

①在x≥0時，要證明-≤x+1成立，

只需證≤，即證1≤， ①

令，得，

整理得，

∵x≥0時，≤1，結合a≥1，得≥0，

∴為在上是增函數，故g(x)≥g(0)=1，從而①式得證．

②在x≤0時，要使-≤x+1成立，

只需證≤，即證1≤， ②

令，得，

而在x≤0時為增函數，

故≤≤0，從而≤0，

∴m(x)在x≤0時為減函數，則m(x)≥m(0)=1，從而②式得證．

綜上所述，原不等式-≤x+1即f(x)≤x+1在a≥1時恒成立． 10分

（Ⅲ）要使f(x0)>x0+1成立，即，

變形為， ③

要找一個x0>0使③式成立，只需找到函數的最小值，滿足即可．

∵，

令得，則x=-lna，取x0=-lna，

在0<x<-lna時，，在x>-lna時，，

即t(x)在(0，-lna)上是減函數，在(-lna，+∞)上是增函數，

∴當x=-lna時，取得最小值

下面只需證明：在時成立即可．

又令，

則≥0，從而在(0，1)上是增函數，

則，從而，得證．

于是的最小值，

因此可找到一個常數，使得③式成立． 14分

考點：導數與不等式