Question

已知橢圓＝1的左焦點為F，O為坐標原點．

(Ⅰ)求過點O、F，并且與橢圓的左準線l相切的圓的方程；

(Ⅱ)設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(Ⅰ)∵a2＝2，b2＝1，∴c＝1，F(－1，0)，l：x＝－2． 　　∵圓過點O、F，∴圓心M在直線x＝－上． 　　設M(，t)，則圓半徑r＝|(－)－(－2)|＝， 　　由|OM|＝r，得，解得t＝±， 　　∴所求圓的方程為(x＋)2＋(y±)2＝； 　　(Ⅱ)設直線AB的方程為y＝k(x＋1)(k≠0)， 　　代入＝1． 　　整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0． 　　∵直線AB過橢圓的左焦點F， 　　∴方程有兩個不等實根． 　　記A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點N(x0，y0)， 　　則x1＋x2＝，x0＝，y0＝． 　　∴AB的垂直平分線NG的方程為 　　y－y0＝(x－x0)， 　　令y＝0得xG＝x0＋ky0＝ 　　＝， 　　∵k≠0，∴－＜xG＜0． 　　∴點G橫坐標的取值范圍為(－，0)．