Question

已知函數.
（1）若在上的最大值為，求實數的值；
（2）若對任意，都有恒成立，求實數的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，設，對任意給定的正實數，曲線 上是否存在兩點、，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？請說明理由。

Answer 1

（1）（2）（3）對任意給定的正實數，曲線 上總存在兩點，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上

試題分析：（1）由，得，
令，得或．
列表如下：

			0
			0		0
			極小值		極大值

∵，，，
即最大值為，．                  4分
（2）由，得．
，且等號不能同時取，，
恒成立，即．
令，求導得，，
當時，，從而，
在上為增函數，，．            8分
（3）由條件，，
假設曲線上存在兩點滿足題意，則只能在軸兩側，
不妨設，則，且．
是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，
， ，              10分
是否存在等價于方程在且時是否有解．
①若時，方程為，化簡得，
此方程無解；                            11分
②若時，方程為，即，
設，則，
顯然，當時，，即在上為增函數，
的值域為，即，
當時，方程總有解．
對任意給定的正實數，曲線 上總存在兩點，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上．      14分
點評：求函數最值通過函數導數求得極值，比較極值與閉區間的邊界值的大小得最值，不等式恒成立中求參數范圍的題目常采用分離參數法轉化為求函數最值的問題