Question

已知圓C：（x-4）²+y²=4，圓D的圓心D在y軸上，且與圓C外切，圓D交y軸于A、B兩點（A在B的上方），點P為（-3，0）．
（1）若D（0，3），求∠APB的正切值；
（2）若D在y軸上運動，當D在何位置時，tan∠APB最大？并求出最大值；
（3）在x軸上是否存在點Q，使當D在y軸上運動時，∠AQB為定值？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中圓C：（x-4）²+y²=4，點D（0，3），可求出CD的長，進而求出圓D的半徑，求出A，B兩點坐標后，即可求得∠APB的正切值；
（2）設D點坐標為（0，t），可以求出對應的圓D的半徑和A，B兩點的坐標，進而求出∠APB正切的表達式，求出其最值后，再根據正切函數的單調性，求出∠APB的最大值；
（3）假設存在點Q（x，0），根據∠AQB是定值，我們構造關于x的方程，若方程有解，則存在這樣的點，若方程無實根，則不存在這樣的點．

解答：解：（1）由圓C：（x-4）²+y²=4，知C（4，0），圓C的半徑為2．…（1分）
又圓C與圓D外切，D（0，3），
∴|CD|=

42+32

=5，圓D的半徑R=5-2=3，…（3分）
而圓D截y軸于（0，6）、（0，0）兩點，不妨設A（0，6），B（0，0）
∴tan∠APB=

|OA|

|OP|

=

6

3

=2． …（4分）
（2）當D在y軸上運動時，令D（0，t），|CD|=

t2+16

，
圓D的半徑R=

t2+16

-2，A（0，t+R），B（0，t-R），…（5分）
∠APB=∠APC-∠BPC，
∴tan∠APB=

t+R 3 - t-R 3

1+ t+R 3 • t-R 3

…（7分）
=

6R

9+t2-R2

=

6 t2+16 -12

4 t2+16 -11

=

3

2

+

9 2

4 t2+16 -11

…（8分）
≤

3

2

+

9 2

4 16 -11

=

3

2

+

9

10

=

12

5

…（9分）
當D為（0，0）時，tan∠APB最大，最大值為

12

5

； …（10分）
（3）設Q（x，0），所以可得tan∠AQB=

2Rx

x2+t2-R2

=

2x t2+16 -4x

4 t +16 +x2-20

為常數?

2x

4

=

-4x

x2-20

，…（11分）
即x=2

3

或x=-2

3

或x=0．   …（12分）
但當x=0時，若A、B分別在x軸兩旁時，∠AQB=180°，
若A、B都在x軸同旁時，∠AQB=0°，故x=0不合題意，舍去．
所以，存在滿足題意的點Q為（2

3

，0）或（-2

3

，0）．…（14分）

點評：本題重點考查直線和圓的方程的應用，考查直線的傾斜角與斜率，考查正切函數的單調性，考查存在性問題，有綜合性．