Question

已知關于x的函數
（1）當時，求函數的極值；
（2）若函數沒有零點，求實數a取值范圍.

Answer 1

（1）函數的極小值為；（2）.

試題分析：（1），當 時，
可利用導函數的符號判斷函數的單調性并求得極值；
（2）要使函數沒有零點，可借助導數研究函數的單調性及極值，參數的值要確保在定義域內恒正（或恒負），即函數的最小值為正，或最大值為負，并由此求出的取值范圍.
試題解析：
解：（1），.  2分
當時，,的情況如下表：

		2
		0
	↘	極小值	↗

所以，當時，函數的極小值為.  6分
（2）.       7分
當時，的情況如下表：

		2
		0
	↘	極小值	↗

因為F(1)=1＞0,  8分
若使函數F(x)沒有零點，需且僅需，解得, 9分
所以此時；10分
當時，的情況如下表：

		2
		0
	↗	極大值	↘

因為,且，
所以此時函數總存在零點. 12分
（或：當時，
當時，令即
由于令
得，即時，即時存在零點.）
綜上所述，所求實數a的取值范圍是.13分