Question

已知函數f(x)=ax²+ln(x+1).
（1）當a=時，求函數f(x)的單調區間；
（2）當時，函數y=f(x)圖像上的點都在所表示的平面區域內，求實數a的取值范圍；
（3）求證：（其中,e是自然數對數的底數）

Answer 1

（1）的單調遞增區間為，單調遞減區間為（2）（3）見解析

試題分析：
（1）函數f(x)是二次與對數的結合，求單調性可以利用導數，以此先求定義域，求導，求導函數大于0與小于0分別求出單調遞增與單調遞減區間.
（2）要使得函數圖象上的點都在所表示的平面區域內，則當時，
不等式恒成立即可，即轉化了恒成立問題，則只需要,故考慮對求導求單調性來確定函數在上的最大值，因為導函數含有參數a，所以在求解單調性確定最值的過程中需要討論a的范圍，討論需從兩根的大小和0的大小進行分析才能確定的最值，從而得到a的取值范圍.
（3）考慮把不等式兩邊同時去對數再證明，即證明，利用對數的乘法公式可以把不等式的左邊化解成為不可求和數列的和，在利用利用（2）得到當a=0時，ln(1+x)是恒成立的，把不可求和數列放縮成為可以裂項求和的數列，裂項利用，進而證明原不等式.
試題解析：
（1）當時，（），
（），  1分
由解得，由解得．
故函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為．  3分
（2）因函數圖象上的點都在所表示的平面區域內，則當時，
不等式恒成立，即恒成立，
設（），只需即可．  4分
由，
（ⅰ）當時，，當時，，
函數在上單調遞減，故成立．   5分
（ⅱ）當時，由，因，所以，
①，即時，在區間上，，則函數在上單調遞增，
在上無最大值（或：當時，），此時不滿足條件；
②若，即時，函數在上單調遞減，
在區間上單調遞增，同樣在上無最大值，不滿足條件．   8分
（ⅲ）當時，由，∵，∴，
∴，故函數在上單調遞減，故成立．
綜上所述，實數的取值范圍是．   10分
（3）據（2）知當時，在上恒成立.
（或另證在區間上恒成立），   11分
又，
∵



，
.       14分