Question

已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求整數(shù)的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）． （Ⅱ）的最大整數(shù)值為1.

解析試題分析：：（1）由題意可得e=即c²= ∵以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓的方程為與直線相切．∴圓心到直線的距離d=b,
1=b∵a²=b²+c²∴a²=2，b=1∴橢圓C的方程為
(2)由題意知直AB的斜率存在． AB：y=k（x-2），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）代入橢圓方程，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，結(jié)合韋達(dá)定理以及，可知整數(shù)t的范圍是最大整數(shù)值為1.。
考點(diǎn)：橢圓的性質(zhì)
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程，直線與橢圓的相交關(guān)系的應(yīng)用，處理此類問(wèn)題常用的方法是聯(lián)立方程，結(jié)合方程的思想進(jìn)行求解