Question

如圖，、為圓柱的母線，是底面圓的直徑，、分別是、的中點，．

(1)證明：；
(2)證明：；
(3)求四棱錐與圓柱的體積比.

Answer 1

(1)詳見解析; (2) 詳見解析; (3).

試題分析：(1)證明線面平行，可證線線平行，所以通過證明四邊形是平行四邊形可知，從而證得.(2)證明面面垂直，可證線面垂直，所以通過證明，而，從而證得.(3)關鍵是求四棱錐的高，通過證明找到就是棱錐的高，再分別利用圓柱和棱錐的體積公式計算.
試題解析：（1）證明：連結，.分別為的中點，∴.
又，且.∴四邊形是平行四邊形，
即. ∴.       4分
(2) 證明：、為圓柱的母線，所以且，即，又是底面圓的直徑，所以，，所以由，所以，，
所以  9分
（3）解：由題，且由（1）知.∴，∴ ，∴. 因是底面圓的直徑，得，且，
∴，即為四棱錐的高．設圓柱高為，底半徑為，
則，∴：.      14分