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動點與定點的距離和它到直線的距離之比是常數,記點的軌跡為曲線.

（I）求曲線的方程；

（II）設直線與曲線交于兩點，為坐標原點，求面積的最大值．

 

【答案】

（I）；（II）．

【解析】

試題分析：（I）找出題中的相等關系，列出化簡即得曲線的方程；（II）先用弦長公式得，由點到直線距離公式得的高，列出面積表達式，最后選擇合適的方法求面積的最大值．

試題解析：（I）設是點到直線的距離,根據題意,點的軌跡就是集合

       

由此得              

將上式兩邊平方,并化簡得      

即

所以曲線的方程為        

（II）由得，

即.    

記，

則.        

于是

        

又原點到直線的距離，       

所以（當時取等號）

所以面積的最大值為．      

考點：1、曲線方程求法；2、直線與圓錐曲線位置關系；3、解析幾何最值問題．

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•韶關二模）在直角坐標系xOy中，動點P與定點F（1，0）的距離和它到定直線x=2的距離之比是
2
2
，設動點P的軌跡為C1，Q是動圓C2：x2+y2=r2（1＜r＜2）上一點．
（1）求動點P的軌跡C1的方程，并說明軌跡是什么圖形；
（2）設曲線C1上的三點A(x1，y1)，B(1，
2
2
)，C(x2，y2)與點F的距離成等差數列，若線段AC的垂直平分線與x軸的交點為T，求直線BT的斜率k；
（3）若直線PQ與C1和動圓C2均只有一個公共點，求P、Q兩點的距離|PQ|的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

 在平面直角坐標系中,動點到定點的距離比它到軸的距離大,設動點的軌跡是曲線.

(1)求曲線的軌跡方程;

(2) 設直線:與曲線相交于、兩點,已知圓經過原點和兩點,求圓的方程,并判斷點關于直線的對稱點是否在圓上.

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年貴州黔東南州高三第二次模擬（5月）考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知動點與定點的距離和它到直線的距離之比是常數,記的軌跡為曲線.

（I）求曲線的方程；

（II）設直線與曲線交于兩點，點關于軸的對稱點為,試問：當變化時，直線與軸是否交于一個定點？若是，請寫出定點的坐標，并證明你的結論；若不是，請說明理由．

 

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年廣東省韶關市高三下學期第二次調研考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

在直角坐標系中，動點與定點的距離和它到定直線的距離之比是，設動點的軌跡為，是動圓上一點.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）設曲線上的三點與點的距離成等差數列，若線段的垂直平分線與軸的交點為，求直線的斜率；

（3）若直線與和動圓均只有一個公共點，求、兩點的距離的最大值.

 

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