Question

記函數f_n(x)＝a·xⁿ－1(a∈R，n∈N^*)的導函數為f′_n(x)，已知f′₃(2)＝12.
(1)求a的值；
(2)設函數g_n(x)＝f_n(x)－n²ln x，試問：是否存在正整數n使得函數g_n(x)有且只有一個零點？若存在，請求出所有n的值；若不存在，請說明理由；
(3)若實數x₀和m(m>0且m≠1)滿足＝，試比較x₀與m的大小，并加以證明．

Answer 1

（1）a＝1   （2）存在n＝1，使得函數g_n(x)有且只有一個零點．
（3）見解析

解：(1)f₃′(x)＝3ax²，由f₃′(2)＝12得a＝1.
(2)g_n(x)＝xⁿ－n²ln x－1，
g′_n(x)＝nx^n－1－＝.
因為x>0，令g_n′(x)＝0得x＝，
當x>時，g_n′(x)>0，g_n(x)是增函數；
當0<x<時，g_n′(x)<0，g_n(x)是減函數．
所以當x＝時，g_n(x)有極小值，也是最小值，
g_n()＝n－nln n－1.
當x→0時，g_n(x)→＋∞；
當x→＋∞時，g_n(x)→＋∞.
當n≥3時，g_n()＝n(1－ln n)－1<0，函數g_n(x)有兩個零點；
當n＝2時，g_n()＝－2ln 2＋1<0，函數g_n(x)有兩個零點；
當n＝1時，g_n()＝0，函數g_n(x)有且只有一個零點．
綜上所述，存在n＝1，使得函數g_n(x)有且只有一個零點．
(3)f_n′(x)＝n·x^n－1.
因為＝，
所以＝，
解得x₀＝.
則x₀－m＝，
當m>1時，(n＋1)(mⁿ－1)>0.
設h(x)＝－x^n＋1＋x(n＋1)－n(x≥1)，則h′(x)＝－(n＋1)xⁿ＋n＋1＝－(n＋1)·(xⁿ－1)≤0，當且僅當x＝1時取等號，
所以h(x)在[1，＋∞)上是減函數．
又m>1，所以h(m)<h(1)＝0，
所以x₀－m<0，所以x₀<m.
當0<m<1時，(n＋1)(mⁿ－1)<0.
設h(x)＝－x^n＋1＋x(n＋1)－n(0<x≤1)，
則h′(x)＝－(n＋1)xⁿ＋n＋1＝－(n＋1)·(xⁿ－1)≥0，當且僅當x＝1時取等號，所以h(x)在(0,1]上是增函數．
又因為0<m<1，所以h(m)<h(1)＝0，
所以x₀－m>0，所以x₀>m.
綜上所述，當m>1時，x₀<m，當0<m<1時，x₀>m.