Question

（2012•福建模擬）（1）選修4-2：矩陣與變換
已知向量

1 -1

在矩陣M=

1 m 0 1

變換下得到的向量是

0 -1

．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求曲線y2-x+y=0在矩陣M^-1對應的線性變換作用下得到的曲線方程．
（2）選修4-4：極坐標與參數方程
在直角坐標平面內，以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知點M的極坐標為（4

2

，

π

4

），曲線C的參數方程為

x=1+ 2 cosα y= 2 sinα

（α為參數）．
（Ⅰ）求直線OM的直角坐標方程；
（Ⅱ）求點M到曲線C上的點的距離的最小值．
（3）選修4-5：不等式選講
設實數a、b滿足2a+b=9．
（Ⅰ）若|9-b|+|a|＜3，求x的取值范圍；
（Ⅱ）若a，b＞0，且z=a²b，求z的最大值．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）由條件可得

1-m -1

=

0 -1

，由此求得m的值．
（Ⅱ）先求出 M^-1=

1 -1 0 1

，設曲線 y²-x+y=0上任意一點（x，y）在矩陣M^-1所對應的線性變換作用下的像是（x′，y′），可得

x=x′+y′ y=y′

，代入曲線 y²-x+y=0化簡得到結果．
（2）解：（Ⅰ）由點M的極坐標求得得點M的直角坐標為（4，4），從而得到直線OM的直角坐標方程．
（Ⅱ）由曲線C的參數方程化為普通方程為（x-1）²+y²=2，求得圓心和半徑r，根據點M在曲線C外，可得點M到曲線C上的點的距離最小值為MA-r．
（3）把條件轉化為|6-b|=2|a|，不等式|9-b|+|a|＜3可化為3|a|＜3，即|a|＜1，由此求得a的取值范圍．
（Ⅱ）因為a，b＞0，可得 z=a² b=a•a•b，利用基本不等式求得z的最大值．

解答：（1）解：（Ⅰ）因為 

1 m 0 1

 

1 -1

=

1-m -1

，
所以，

1-m -1

=

0 -1

，即 m=1．…（3分）
（Ⅱ）因為M=

1 1 0 1

，所以 M^-1=

1 -1 0 1

．…（4分）
設曲線 y²-x+y=0上任意一點（x，y）在矩陣M^-1所對應的線性變換作用下的像是（x′，y′），
由

x′ y′

=

1 -1 0 1

 

x y

=

x-y y

，…（5分）
所以

x-y=x′ y=y′

 得

x=x′+y′ y=y′

代入曲線 y²-x+y=0得 y^′2=x′．…（6分）
由 （x，y）的任意性可知，
曲線 y²-x+y=0在矩陣 M^-1對應的線性變換作用下的曲線方程為 y²=x．…（7分）
（2）解：（Ⅰ）由點M的極坐標為（4

2

，

π

4

）得點M的直角坐標為（4，4），
所以直線OM的直角坐標方程為y=x．…（3分）
（Ⅱ）由曲線C的參數方程

x=1+ 2 cosα y= 2 sinα

（α為參數）
化為普通方程為 （x-1）²+y²=2，…（5分）
圓心為A（1，0），半徑為r=

2

．
由于點M在曲線C外，故點M到曲線C上的點的距離最小值為MA-r=5-

2

．…（7分）
（3）解：（Ⅰ）由2a+b=9得9-b=2a，即|6-b|=2|a|．
所以|9-b|+|a|＜3可化為3|a|＜3，即|a|＜1，解得-1＜a＜1．
所以a的取值范圍（-1，1）．…（4分）
（Ⅱ）因為a，b＞0，所以 z=a² b=a•a•b≤(

a+b+c

3

)2=3³=27，…（6分）
當且僅當a=b=3時，等號成立． 故z的最大值為27．…（7分）

點評：本小題主要考查矩陣與變換等基礎知識，考查運算求解能力．考查參數方程、極坐標方程等基礎知識，考查運算求解能力．考查絕對不等式、不等式證明等基礎知識，考查推理論證能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想．屬于中檔題．