Question

已知a，b∈R且a≠2，定義在區(qū)間（-b，b）內(nèi)的函數(shù)f(x)=lg

1+ax

1+2x

是奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及b的取值范圍；
（2）討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）由題意可知，f（-x）=-f（x）對(duì)定義域內(nèi)的任意x成立，代入可求a，然后求出函數(shù)的定義域即可求解b
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義直接進(jìn)行判斷即可

解答：解：（1）f(x)=lg

1+ax

1+2x

，x∈（-b，b）是奇函數(shù)，
等價(jià)于對(duì)于任意-b＜x＜b都有

f(-x)=-f(x)    (1) 1+ax 1+2x ＞0          (2)

成立，（1）
式即為 lg

1-ax

1-2x

=-lg

1+ax

1+2x

=lg

1+2x

1+ax

．
∴

1-ax

1-2x

=

1+2x

1+ax

，即a²x²=4x²，
此式對(duì)于任意x∈（-b，b）都成立等價(jià)于a²=4，
因?yàn)閍≠2，所以a=-2，所以f(x)=lg

1-2x

1+2x

；
代入（2）式得：

1-2x

1+2x

＞0，
即-

1

2

＜x＜

1

2

對(duì)于任意x∈（-b，b）都成立，
相當(dāng)于-

1

2

≤-b＜b≤

1

2

，從而b的取值范圍為(0，

1

2

]；
（2）對(duì)于任意x₁，x₂∈（-b，b），且x₁＜x₂，由b∈(0，

1

2

]，
得-

1

2

≤-b＜b≤

1

2

，所以0＜1-2x₂＜1-2x₁，0＜1+2x₁＜1+2x₂，
從而f（x₂）-f（x₁）=lg

1-2x2

1+2x2

-lg

1-2x1

1+2x1

=lg

(1-2x2)(1+2x1)

(1+2x2)(1-2x1)

＜lg1=0，
因此f（x）在（-b，b）是減函數(shù)；

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的單調(diào)性的判斷，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本定義并能靈活利用