Question

已知半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”，其中a²＝b²＋c²，a＞0，b＞c＞0，F₀，F₁，F₂是對應的焦點．

(1)若三角形F₀F₁F₂是邊長為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；

(2)若｜A₁A｜＞｜B₁B｜，求的取值范圍；

(3)一條直線與果圓交于兩點，兩點的連線段稱為果圓的弦．是否存在實數k，使得斜率為k的直線交果圓于兩點，得到的弦的中點的軌跡方程落在某個橢圓上？若存在，求出所有k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)， 　　， 　　于是，所求“果圓”方程為 　　，． 　　(2)由題意，得，即． 　　，，得． 　　又．． 　　(3)設“果圓”的方程為，． 　　記平行弦的斜率為． 　　當時，直線與半橢圓的交點是 　　，與半橢圓的交點是． 　　的中點滿足 　　得． 　　，． 　　綜上所述，當時，“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上． 　　當時，以為斜率過的直線與半橢圓的交點是． 　　由此，在直線右側，以為斜率的平行弦的中點軌跡在直線上，即不在某一橢圓上． 　　當時，可類似討論得到平行弦中點軌跡不都在某一橢圓上．