Question

過橢圓

x2

9

+

y2

4

=1內一點M（2，0）引橢圓的動弦AB，則弦AB的中點N的軌跡方程是

(x-1)2+

9

4

y2=1

．

Answer 1

分析：設出N，A，B的坐標，將A，B的坐標代入橢圓方程，結合N為AB的中點，求出AB的斜率，再利用動弦AB過點M（2，0），弦AB的中點N，求出AB的斜率，從而可得方程，化簡即可．

解答：解：設N（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x12

9

+

y12

4

=1①，

x22

9

+

y22

4

=1②
①-②，可得：

(x1-x2)x

9

+

(y1-y2)y

4

=0
∴

y1-y2

x1-x2

=-

4x

9y

∵動弦AB過點M（2，0），弦AB的中點N，
當M、N不重合時，有kAB=

y

x-2

∴

y

x-2

=-

4x

9y

∴

9

4

y2=-x(x-2)
∴(x-1)2+

9

4

y2=1，（m≠2）
當M、N重合時，即M是A、B中點，M（2，0）適合方程(x-1)2+

9

4

y2=1，
則N的軌跡方程為(x-1)2+

9

4

y2=1，
故答案為：(x-1)2+

9

4

y2=1

點評：本題考查直線與橢圓的綜合，考查點差法的運用，這是解決弦中點問題，常用的一種方法．