Question

已知f（x）的定義域為{x∈R|x≠0}，且f（x）是奇函數，當x＞0時f（x）=-x²+bx+c，若f（1）=f（3），f（2）=2．
（1）求b，c的值；
（2）求f（x）在x＜0時的表達式．

Answer 1

分析：（1）根據f（1）=f（3）得函數圖象關于直線x=2對稱，結合拋物線對稱軸的公式列式得到b的值，再由f（2）=2列式，解出c的值．
（2）當x＜0時，-x是正數，代入題中正數范圍內的表達式得到f（-x）的式子，再結合f（x）是奇函數，取相反數即可得到f（x）在x＜0時的表達式．

解答：解：（1）∵f（1）=f（3），∴函數圖象的對稱軸x=

b

2

=2，得b=4
又∵f（2）=-4+4×2+c=2，∴c=-2
（2）由（1）得當x＞0時f（x）=-x²+4x+2，
當x＜0時，f（-x）=-（-x）²+4（-x）+2=-x²-4x+2，
∵f（x）是奇函數，
∴當x＜0時，f（x）=-f（-x）=x²+4x-2．

點評：本題給出二次函數的對應值，求函數表達式，并且在函數為奇函數的情況下求x＜0時的表達式．著重考查了函數奇偶性的性質和函數解析式的求解及常用方法，屬于基礎題．