Question

設函數f(x)=3sinx+2cosx+1。若實數a、b、c使得af(x)+bf(x?c)=1對任意實數x恒成立，則的值等于（     ）

A．

B．

C．?1

D．1

Answer 1

C

令c=π，則對任意的x∈R，都有f(x)+f(x?c)=2，于是取，c=π，則對任意的x∈R，af(x)+bf(x?c)=1，由此得。
一般地，由題設可得，，其中且，于是af(x)+bf(x?c)=1可化為
，即
，所以
。
由已知條件，上式對任意x∈R恒成立，故必有，
若b=0，則由(1)知a=0，顯然不滿足(3)式，故b≠0。所以，由(2)知sinc=0，故c=2kπ+π或c=2kπ(k∈Z)。當c=2kπ時，cosc=1，則(1)、(3)兩式矛盾。故c=2kπ+π(k∈Z)，cosc=?1。由(1)、(3)知，所以。