Question

定義在上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，都有成立，則稱是上的有界函數，其中稱為函數的上界.
（1）判斷函數是否是有界函數，請寫出詳細判斷過程；
（2）試證明：設，若在上分別以為上界，
求證：函數在上以為上界；
（3）若函數在上是以3為上界的有界函數，
求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）是有界函數（2）見解析（3）

解析試題分析：（1），當時，
則，由有界函數定義可知是有界函數
(2)由題意知對任意，存在常數，都有成立
即，同理（常數）
則，即
在上以為上界
(3)由題意知，在上恒成立。
，    
∴  在上恒成立
∴   
設，，，由得 t≥1，
設，，
所以在上遞減，在上遞增，（單調性不證，不扣分）
在上的最大值為，
在上的最小值為。
所以實數的取值范圍為
考點：二次函數求最值及不等式恒成立問題
點評：不等式恒成立轉化為求函數最值問題，利用單調性可求最值