Question

已知圓C：x2+(y-

1

4

)2=

1

16

，動圓M與圓C外切，圓心M在x軸上方且圓M與x軸相切．
（I）求圓心軌跡M的曲線方程；
（II）若A（0，-2）為y軸上一定點，Q（t，0）為x軸上一動點，過點Q且與AQ垂直的直線與軌跡M交于D，B兩點（D在線段BQ上），直線AB與軌跡M交于E點，求

AD

•

AE

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用動圓M與圓C外切，圓心M在x軸上方且圓M與x軸相切，可知M到C的距離等于M到直線y=-

1

4

的距離，從而圓心軌跡為拋物線；
（II）由題意，先求得D(

t

2

，

t2

4

)，B(-t，t2)，從而AB方程為y+2=

t2+2

-t

x，再求得E(-

2

t

，

4

t2

)，進(jìn)而可表示

AD

•

AE

，利用基本不等式求最小值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），則MC=

1

4

+y，即M到C的距離等于M到直線y=-

1

4

的距離，從而圓心軌跡M的曲線方程為x²=y；
（II）由題意，不妨設(shè)t＞0．設(shè)QB方程為：y=-

t

2

(x-t)與x²=y聯(lián)立，求得D(

t

2

，

t2

4

)，B(-t，t2)，從而AB方程為y+2=

t2+2

-t

x，與x²=y聯(lián)立，求得E(-

2

t

，

4

t2

)，∴

AD

•

AE

=

t2

2

+

8

t2

+4≥8，即

AD

•

AE

的最小值為8．

點評：本題考查軌跡方程的求法，以及拋物線定義的應(yīng)用，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，有一定難度．