Question

設等差數列的前項和為，已知，.
（1）求；
（2）若從中抽取一個公比為的等比數列，其中，且，.
①當取最小值時，求的通項公式；
②若關于的不等式有解，試求的值.

Answer 1

（1），（2）①，②

試題分析：
（1）解等差數列問題，主要從待定系數對應關系出發.由等差數列前n項和公式求出公差d即可，（2）①利用等比數列每一項都為等差數列中項這一限制條件，對公比逐步進行驗證、取舍，直到滿足.因為研究的是取最小值時的通項公式，因此可從第二項開始進行驗證，首先滿足的就是所求的公比，②由①易得與的函數關系，并由為正整數初步限制取值范圍，當且時適合題意，當且時，不合題意.再由不等式有解，歸納猜想并證明取值范圍為本題難點是如何說明當時不等式即無解，可借助研究數列單調性的方法進行說明.
試題解析：
（1）設等差數列的公差為，則，解得，  2分
所以.              4分
（2）因為數列是正項遞增等差數列，所以數列的公比，
若，則由，得，此時，由，
解得，所以，同理；          6分
若，則由，得，此時，
另一方面，，所以，即，    8分
所以對任何正整數，是數列的第項．所以最小的公比．
所以．                    10分
（3）因為，得，而，
所以當且時，所有的均為正整數，適合題意；
當且時，不全是正整數，不合題意.
而有解，所以有解，經檢驗，當，，時，都是的解，適合題意；          12分
下證當時，無解, 設，
則，
因為，所以在上遞減，
又因為，所以恒成立，所以，所以恒成立，
又因為當時，，所以當時，無解.       15分
綜上所述，的取值為                  16分