Question

若非零函數對任意實數均有，且當時

（1）求證：；

（2）求證：為R上的減函數；

（3）當時， 對時恒有，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

（1）證法一：即又

當時，

則

故對于恒有

證法二： 為非零函數

（2）證明：令且

有， 又 即

故 又

故為R上的減函數

（3）實數的取值范圍為

【解析】

試題分析：（1）由題意可取代入等式，得出關于的方程，因為為非零函數，故，再令代入等式，可證，從而證明當時，有；（2）著眼于減函數的定義，利用條件當時，有，根據等式，令，，可得，從而可證該函數為減函數.（3）根據，由條件可求得，將替換不等式中的，再根據函數的單調性可得，結合的范圍，從而得解.

試題解析：（1）證法一：即又

當時，

則

故對于恒有 4分

證法二： 為非零函數

（2）令且

有， 又 即

故 又

故為R上的減函數 8分

（3）故， 10分

則原不等式可變形為

依題意有 對恒成立

或或

故實數的取值范圍為 13分

考點：1.函數的概念；2.函數的單調性；3.二次函數.