Question

設(shè)函數(shù)，，其中為實(shí)數(shù).

(1) 若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的范圍；

(2) 若在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

解：（1）

      

      

  由題意：對(duì)恒成立

          即對(duì)恒成立

         

          在上有最小值

            時(shí)，恒成立，在無最值

            時(shí)，由題意

                            

             綜上：的范圍是：

     （2）在上是單調(diào)增函數(shù)

          對(duì)恒成立

          即對(duì)恒成立

         

          令，則

          則有的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為與圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)

          令

          則

          易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

                   在時(shí)取到最大值

             當(dāng)時(shí)，

             當(dāng)時(shí)，

           圖像如下

            

            

            所以由圖可知：時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)

                          時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)

                           時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)

             綜上所述：或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)

                       時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)