Question

已知（，為此函數的定義域）同時滿足下列兩個條件：①函數在內單調遞增或單調遞減；②如果存在區間，使函數在區間上的值域為，那么稱，為閉函數

    （1）判斷函數是否為閉函數？并說明理由；

    （2）求證：函數（）為閉函數；

    （3）若是閉函數，求實數的取值范圍

 

Answer 1

【答案】

解：（1）函數在區間上單調遞減，在上單調遞增；（證明略）

所以，函數在定義域上不是單調遞增或單調遞減函數，從而該函數不是閉函數

(2) 先證符合條件①：對于任意

    且，有     

    ，    ，故是上的減函數．

    又因為在上的值域是。              

    （3）易知是上的增函數，符合條件①；設函數符合條件②的區間為，則；故是的兩個不等根，即方程組為：

    有兩個不等非負實根；

    設為方程的二根，則

    解得： 的取值范圍．

 

【解析】略