Question

已知、分別是橢圓C:的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn),O是坐標(biāo)系原點(diǎn), 且橢圓C的焦距為6, 過(guò)的弦AB兩端點(diǎn)A、B與所成的周長(zhǎng)是.
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)，是橢圓C上不同的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為,
求直線的方程

Answer 1

（Ⅰ） 解:設(shè)橢圓C:的焦距為2c,
∵橢圓C:的焦距為2,   ∴2c=6,即c=3…………1分
又∵、分別是橢圓C:的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn),且過(guò)的弦AB兩端點(diǎn)A、B與所成⊿AB的周長(zhǎng)是.
∴⊿AB的周長(zhǎng) = AB+(AF₂+BF₂)= (AF₁+BF₁)+ (AF₂+BF₂)=4=
∴                                            …………4分
又∵, ∴∴橢圓C的方程是…………6分
（Ⅱ）解一：點(diǎn)，是橢圓C上不同的兩點(diǎn)，
∴，.…………7分
以上兩式相減得：，…………8分                             
即，，…9分
∵線段的中點(diǎn)為，∴. …10分
∴，…………11分
當(dāng)，由上式知， 則重合，與已知矛盾，因此，………12分
∴.         ……………………13分
∴直線的方程為，即.      ………14分
解二: 當(dāng)直線的不存在時(shí), 的中點(diǎn)在軸上, 不符合題意.
故可設(shè)直線的方程為, . ……8分
由 消去，得   (*)
.            ………10分
的中點(diǎn)為,
..解得.  ………12分                                                 
此時(shí)方程(*)為,其判別式.………13分
∴直線的方程為.        ………14分 

解析