Question

已知、分別是橢圓C: 的左焦點和右焦點,O是坐標系原點, 且橢圓C的焦距為6, 過的弦兩端點與所成⊿的周長是.

（Ⅰ）.求橢圓C的標準方程.

（Ⅱ） 已知點，是橢圓C上不同的兩點，線段的中點為.

求直線的方程；

（Ⅲ）若線段的垂直平分線與橢圓C交于點、，試問四點、、、是否在同一個圓上，若是，求出該圓的方程；若不是，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）  解:設橢圓C: 的焦距為2c,

∵橢圓C: 的焦距為2,   ∴2c=6,即c=3…………1分

又∵、分別是橢圓C: 的左焦點和右焦點,且過的弦AB兩端點A、B與所成⊿AB的周長是.

∴⊿AB的周長 = AB+(AF₂+BF₂)= (AF₁+BF₁)+ (AF₂+BF₂)=4=

∴                                            …………2分

又∵, ∴∴橢圓C的方程是…………4分

（Ⅱ）解一： 點，是橢圓C上不同的兩點，

∴，.以上兩式相減得：，                             

即，，

∵線段的中點為，∴.                                                            

∴，

當，由上式知， 則重合，與已知矛盾，因此，

∴. ∴直線的方程為，即.                    

由 消去，得，解得或.

∴所求直線的方程為.     ………………8分

 解二: 當直線的不存在時, 的中點在軸上, 不符合題意.

     故可設直線的方程為, .           

  由 消去，得   (*)

.               的中點為,

..解得.                                                            

此時方程(*)為,其判別式.∴直線的方程為.                                     

（Ⅲ）由于直線的方程為，

則線段的垂直平分線的方程為，即.        

由  得，                               

由消去得，設

則.

∴線段的中點G的橫坐標為，縱坐標.

∴.                                             

∴.

∵，

，                    

∴四點、、、在同一個圓上，此圓的圓心為點G，半徑為，

其方程為.          …………14分    

【解析】略