Question

（本題滿分15分）已知函數．
（1）求函數的圖像在點處的切線方程；
（2）若，且對任意恒成立，求的最大值；

Answer 1

（1）； （2）整數的最大值是3．

解析試題分析：（1）解：因為，所以，
函數的圖像在點處的切線方程；…………5分
（2）解：由（1）知，，所以對任意恒成立，即對任意恒成立．…………7分
令，則，……………………8分
令，則，
所以函數在上單調遞增．………………………9分
因為，所以方程在上存在唯一實根，且滿足．
當，即，當，即，…13分
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增．
所以．…………14分
所以．故整數的最大值是3．………………………15分
考點：本題主要考查導數的幾何意義，應用導數研究函數的單調性及極值。
點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，像涉及恒成立問題，往往通過研究函數的最值達到解題目的。涉及對數函數，要特別注意函數的定義域。