Question

如圖是函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的一段圖象．
（I）求φ的值及函數f（x）的解析式；
（II）求函數g(x)=f(x-

π

4

)的最值及零點．

Answer 1

分析：（I）利用三角函數的圖象直接求出A，推出函數的周期，利用周期公式求出ω，圖象過點(-

π

12

，0)，結合φ的范圍求φ的值，即可得到函數f（x）的解析式；
（II）通過函數g(x)=f(x-

π

4

)，求出它的表達式，利用正弦函數的最值以及x的取值，求出函數的最值，利用正弦函數的零點求出函數的零點．

解答：解：（I）由圖可知，A=2．…（2分）
函數的周期T=2[

5π

12

-(-

π

12

)]=π，所以ω=

2π

T

=2．…（4分）
因為圖象過點(-

π

12

，0)，所以2sin[2(-

π

12

)+φ]=0，即sin(φ-

π

6

)=0．
所以φ-

π

6

=kπ(k∈Z)．因為|φ|＜

π

2

，所以φ=

π

6

．
所以f(x)=2sin(2x+

π

6

)．…（7分）
（II）依題意，g(x)=2sin[2(x-

π

4

)+

π

6

]=2sin(2x-

π

3

)．
當2x-

π

3

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

5π

12

，k∈Z時，y取得最大值，且最大值等于2．
當2x-

π

3

=2kπ-

π

2

，k∈Z，即x=kπ-

π

12

，k∈Z時，y取得最小值，且最小值等于-2．…（10分）
因為2x-

π

3

=kπ，k∈Z時，g（x）=0，
所以，函數g（x）零點為

kπ

2

+

π

6

(k∈Z)．…（12分）

點評：本題是中檔題，考查三角函數的解析式的求法，函數的圖象的應用，正弦函數的基本知識，考查計算能力．