Question

設數列{a_n}前n項和S_n=Aqⁿ+B，則A+B=0是使{a_n}成為公比不等于1的等比數列的（　　）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．即不充分也不必要條件

Answer 1

分析：已知{a_n}成為公比不等于1的等比數列，可得出A+B=0，推斷A+B=0是使{a_n}成為公比不等于1的等比數列的必要條件；數列{a_n}前n項和S_n=Aqⁿ+B，A+B=0，得到⇒{a_n}成為公比不等于1的等比數列，可推斷A+B=0是使{a_n}成為公比不等于1的等比數列的充分條件．從而得出正確答案．

解答：解：（1）已知{a_n}成為公比不等于1的等比數列，則
Sn=

a 1(1-q n)

1-q

=

a 1

1-q

-

a 1q n

1-q

，比照S_n=Aqⁿ+B，得
A=

a 1

1-q

，B=-

a 1

1-q

故A+B=0，
（2）若已知：數列{a_n}前n項和S_n=Aqⁿ+B，A+B=0，則
a₁=S₁=Aq+B=A（q-1），
n＞1時 an=Sn-S_n-1=aAqⁿ+B-[Aq^n-1+B]=Aq^n-1（q-1），
⇒{a_n}成為公比不等于1的等比數列．
故A+B=0是使{a_n}成為公比不等于1的等比數列的充要條件．
故選C．

點評：本小題主要考查必要條件、充分條件與充要條件的判斷、等比數列等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．