Question

（2013•陜西）已知函數f（x）=e^x，x∈R．
（Ⅰ） 若直線y=kx+1與f（x）的反函數的圖象相切，求實數k的值；
（Ⅱ） 設x＞0，討論曲線y=f（x）與曲線y=mx²（m＞0）公共點的個數．
（Ⅲ） 設a＜b，比較

f(a)+f(b)

2

與

f(b)-f(a)

b-a

的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）先求出其反函數，利用導數得出切線的斜率即可；
（II）由f（x）=mx²，令h（x）=

ex

x2

(x＞0)，利用導數研究函數h（x）的單調性即可得出；
（III）利用作差法得 

f(a)+f(b)

2

-

f(b)-f(a)

b-a

=

(b-a+2)f(a)+(b-a-2)f(b)

2(b-a)

=

(b-a+2)ea+(b-a-2)eb

2(b-a)

=

(b-a+2)+(b-a-2)eb-a

2(b-a)

ea，令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），利用導數研究其單調性即可證明．

解答：解：（I）函數f（x）=e^x的反函數為g（x）=lnx，∴g′(x)=

1

x

．
設直線y=kx+1與g（x）的圖象相切于點P（x₀，y₀），則

g′(x0)= 1 x0 =k kx0+1=lnx0

，解得x0=e2，k=e^-2，
∴k=e^-2．
（II）當x＞0，m＞0時，令f（x）=mx²，化為m=

ex

x2

，
令h（x）=

ex

x2

(x＞0)，則h′(x)=

ex(x-2)

x3

，
則x∈（0，2）時，h′（x）＜0，h（x）單調遞減；x∈（2，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增．
∴當x=2時，h（x）取得極小值即最小值，h(2)=

e2

4

．
∴當m∈(0，

e2

4

)時，曲線y=f （x） 與曲線y=mx²（m＞0）公共點的個數為0；
當m=

e2

4

時，曲線y=f （x） 與曲線y=mx²（m＞0）公共點的個數為1；
當m＞

e2

4

時，曲線y=f （x） 與曲線y=mx²（m＞0）公共點個數為2．
（Ⅲ） 

f(a)+f(b)

2

-

f(b)-f(a)

b-a

=

(b-a+2)f(a)+(b-a-2)f(b)

2(b-a)

=

(b-a+2)ea+(b-a-2)eb

2(b-a)

=

(b-a+2)+(b-a-2)eb-a

2(b-a)

ea，
令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），則g′（x）=1+（x-1）e^x．
g^′′（x）=xe^x＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上單調遞增，且g′（0）=0，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上單調遞增，
而g（0）=0，∴在（0，+∞）上，有g（x）＞g（0）=0．
∵當x＞0時，g（x）=x+2+（x-2）•e^x＞0，且a＜b，
∴

(b-a+2)+(b-a-2)eb-a

2(b-a)

ea＞0，
即當a＜b時，

f(a)+f(b)

2

＞

f(b)-f(a)

b-a

．

點評：本題綜合考查了利用導數研究切線、單調性、方程得根的個數、比較兩個實數的大小等基礎知識，考查了分類討論的思想方法、轉化與化歸思想方法，考查了推理能力和計算能力．