Question

（2001•上海）對任意一個(gè)非零復(fù)數(shù)z，定義集合Mz={w|w=z2n-1，n∈N}．
（Ⅰ）設(shè)α是方程x+

1

x

=

2

的一個(gè)根．試用列舉法表示集合M_a，若在M_a中任取兩個(gè)數(shù)，求其和為零的概率P；
（Ⅱ）設(shè)復(fù)數(shù)ω∈M_z，求證：M_ω⊆M_z．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由α是方程x2-

2

x+1=0的根，可得α1=

2

2

(1+i)或α2=

2

2

(1-i)．當(dāng)α1=

2

2

(1+i)時(shí)，由

α

2 1

=i， 

α

2n-1 1

=

( α 2 1 )n

α1

=

in

α1

，可得Mα1={

2

2

(1+i)，-

2

2

(1-i)，-

2

2

(1+i)，

2

2

(1-i)}． 當(dāng)α2=

2

2

(1-i)時(shí)，同理求得Mα2={

-i

α2

，

-1

α2

，

i

α2

，

1

α2

}=Mα1．由此求得在M_a中任取兩個(gè)數(shù)，求其和為零的概率．
（Ⅱ）由ω∈M_z，可得存在m∈N，使得ω=z^2m-1．于是對任意n∈N，ω^2n-1=z^{（2m-1）（2n-1）}，由于（2m-1）（2n-1）是正奇數(shù)，ω^2n-1∈M_z，命題得證．

解答：解：（Ⅰ）∵α是方程x2-

2

x+1=0的根，∴α1=

2

2

(1+i)或α2=

2

2

(1-i)．…（2分）
當(dāng)α1=

2

2

(1+i)時(shí)，∵

α

2 1

=i， 

α

2n-1 1

=

( α 2 1 )n

α1

=

in

α1

，
∴Mα1={

i

α1

，

-1

α1

，

-i

α1

，

1

α1

}={

2

2

(1+i)，-

2

2

(1-i)，-

2

2

(1+i)，

2

2

(1-i)}．
當(dāng)α2=

2

2

(1-i)時(shí)，∵

α

2 2

=-i，
∴Mα2={

-i

α2

，

-1

α2

，

i

α2

，

1

α2

}=Mα1={

2

2

(1+i)，-

2

2

(1-i)，-

2

2

(1+i)，

2

2

(1-i)}．
當(dāng)α2=

2

2

(1-i)時(shí)，∵

α

2 2

=-i，∴Mα2={

-i

α2

，

-1

α2

，

i

α2

，

1

α2

}=Mα1．
因此，不論α取哪一個(gè)值，集合M_α是不變的，即Mα={

2

2

(1+i)，-

2

2

(1-i)，-

2

2

(1+i)，

2

2

(1-i)}．…（8分）
于是，在M_a中任取兩個(gè)數(shù)，求其和為零的概率　P=

2

C 2 4

=

1

3

．…（10分）
（Ⅱ）證明：∵ω∈M_z，∴存在m∈N，使得ω=z^2m-1．…（12分）
于是對任意n∈N，ω^2n-1=z^{（2m-1）（2n-1）}，由于（2m-1）（2n-1）是正奇數(shù)，ω^2n-1∈M_z，所以M_ω⊆M_z．…（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，等可能事件的概率求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．