Question

（本題滿分14分）已知函數（且）．
（Ⅰ）當時，求證：函數在上單調遞增；
（Ⅱ）若函數有三個零點，求t的值；
（Ⅲ）若存在x₁，x₂∈[﹣1,1]，使得，試求a的取值范圍．
注：e為自然對數的底數。

Answer 1

解：（Ⅰ），
由于，故當x∈時，lna＞0，a^x﹣1＞0，所以，
故函數在上單調遞增。       ………………………………………4分
（Ⅱ）當a＞0，a≠1時，因為，且 在R上單調遞增，
故有唯一解x=0。
要使函數 有三個零點，所以只需方程 有三個根，
即，只要，解得t=2； ………………………………9分
（Ⅲ）因為存在x₁，x₂∈[﹣1,1]，使得，
所以當x∈[﹣1,1]時，。
由（Ⅱ）知，，
。
事實上，。
記（）
因為 
所以 在上單調遞增，又。
所以  當 x＞1 時，；
當0＜x＜1 時，，
也就是當a＞1時，；
當0＜a＜1時，。
① 當時，由，得，
解得 。
②當0＜a＜1時，由，得，
解得 。
綜上知，所求a的取值范圍為。

解析