Question

(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝kx³－3(k＋1)x²－2k²＋4，若f(x)的單調減區間為(0,4)．
(1)求k的值；
(2)對任意的t∈[－1,1]，關于x的方程2x²＋5x＋a＝f(t)總有實根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：(1)f′(x)＝3kx²－6(k＋1)x，
又∵f′(4)＝0，∴k＝1.
(2)由(1)得f(x)＝x³－6x²＋2，
∴f′(t)＝3t²－12t.
∵當－1<t<0時，f′(t)>0；當0<t<1時，f′(t)<0，且f(－1)＝－5，f(1)＝－3，
∴f(t)≥－5.
∵2x²＋5x＋a≥，
∴≤－5，解得a≤－.

解析