Question

已知函數f(x)=3sin2x+2

3

sinxcosx+5cos2x，求
（1）函數的周期和最大值；
（2）函數的單調遞增區間．

Answer 1

分析：利用二倍角公式，平方關系，兩角和的正弦函數，化簡函數y=3sin²x+2

3

sinxcosx+5cos²x，為一個角的一個三角函數的形式，然后直接求出最小正周期，最大值，單調增區間．

解答：解：（1）∵f(x)=3sin2x+2

3

sinxcosx+5cos2x=3×

1-cos2x

2

+

3

sin2x+5×

1+cos2x

2

=4+

3

sin2x+cos2x
=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）+4=2sin（2x+

π

6

）+4，
∴函數的周期為

2π

2

=π，當 2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z時，函數取得最大值為2+4=6．
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得 kπ-

π

3

≤x≤，kπ+

π

6

，k∈Z，
故函數的單調遞增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．

點評：本題考查三角函數的最值，三角函數的周期性及其求法，正弦函數的單調性，考查計算能力，此類題目的解答，關鍵是基本的三角函數的性質的掌握熟練程度，屬于中檔題．